一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f -1(x)。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

基本信息

中文名:反函数

外文名:Inverse function

类别: 数学

定义: 对一给定函数做逆运算的函数

符号:y=f^（ -1）(x)

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一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x  破句存架素.）的反函数为y=f -1(x)。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

定义

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C

反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变  问岁某眼久铁领区高.量，x是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1法调革少) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值  门那落场红核凯控且安.域、定义域.

符号

arc

用法

例：三角函数中

正弦函数和它的反函数：f(x)=sinx->f(x)=arcsinx

余弦函数和它的反函数：f(x)=cosx->f(x)=arccosx

正切函数和它的反函数：f(x)=tanx ->f帝苏齐(x)=arctanx

余切函数和它的反函数：f(x)=cotx->f(x)=arccotx

指数函数和它的反函数：f(x)=a^x->f(x)=logax

性质

反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色

（1）函数f（x）与他的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；

函数及促求其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定具厚要元北高义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数序鲜体省钢望杀告），则函数f(x)是偶  天娘反置布衡止工居京.函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函粒承阿延不数。

（5）一切隐函数具有反函数；

（6）一段连续的函高慢祖你使要华民数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；

（8）反函数是相互的且具有唯一性；

（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（10）原函数一旦确定爱，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。

例：y=2x-1  告击构早灯乱处.的反函数是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函数是y=log2 x

例题：求函数y=3x-2的反函数

解：y=3x-2的定义域为R，值域为R。

由y=3x-2，解得:

x=(y+2)/3

将x，y互换，则所求y=3x-2的反函数是

y=(x+2)/3（x属于R）

（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f’（y）≠0，那么它的括草界反函数y=f’（X）在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1[f'（x）]'。

（12）y=x的反函数是它本身。

（13）互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称